Sulle prime armoniche bidimensionali

Decomposing a periodic signal into a series of harmonics is a well-known and widely used technique. Each harmonics order is represented by two coefficients, either those of cosine and sine or those of a single complex coefficient. When the signal is bidimensional, i.e. a vector, each component can be decomposed separately into a series of harmonics. This leads to four coefficients instead of two for each harmonics order. This Technical Report focusses on the harmonics of first order; this represents the fundamental of the signal, that is, the oscillation synchronous with the period of interest. The parametric representation in the plane (x,y) of a bidimensional signal as a function of an independent variable (for instance the time in a period or the angle in a revolution) is an ellipse. This Technical Report studies the details of such ellipse, when it reduces to a circle, when it progresses clockwise or anticlockwise, and proofs that the ellipse can always be decomposed in the sum of two counter-rotating circles.

La scomposizione di un segnale periodico in serie di armoniche e' tecnica ben nota e largamente utilizzata. Ciascun ordine di armonica e' rappresentato da due coefficienti, siano essi quelli di coseno e seno, oppure quelli di un singolo coefficiente complesso. Quando il segnale e' bidimensionale, cioe' e' un vettore, ciascuna componente puo' esser separatamente scomposta in armoniche; cio' porta a quattro coefficienti anziche' due per ciascun ordine di armonica. Si esamina in questo Rapporto Tecnico soltanto la armonica di primo ordine; essa rappresenta la fondamentale, cioe' la oscillazione sincrona con il periodo esaminato. Nel caso bidimensionale, la rappresentazione parametrica nel piano (x,y) al variare di una variabile indipendente (ad esempio il tempo in un periodo o lo angolo nel giro) e' una ellisse. Questo Rapporto Tecnico esamina nel dettaglio le caratteristiche di tale ellisse, quando questa si riduce ad una circonferenza, quando e' percorsa in verso orario o antiorario, e dimostra che la ellisse e' sempre scomponibile in due circonferenze controrotanti.